STATISTIKA: BAB IV PROBABILITAS

PROBABILITAS ( PELUANG )

Suatu ilmu untuk memprediksi suatu kejadian (event) atau dapat disebut
peluang suatu kejadian berdasarkan pendekatan matematis, Dalam hal
ini kita dapat memprediksikan suatu kejadian berdasarkan kumpulan data
yang telah diolah dengan ilmu statistik. Probabilitas suatu kejadian adalah
angka yang menunjukan kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Nilainya
antara 0 dan 1. Kejadian yang mempunya nilai probabilitas 1 adalah
kejadian yang pasti terjadi atau sesuatu yang telah terjadi. Misalnya
matahari yang masih terbit ditimur sampai sekarang, sedangkan suatu
kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang
mustahil atau tidak mungkin terjadi. Misalkan seekor kambing melahirkan
seekor sapi. Probabilitas suatu kejadian A dilambangkan dengan notasi P(A)
sebaliknya probabilitas (bukan A) atau komplemen A, atau probablitas suatu
kejadian A tidak akan terjadi adalah 1-P(A).

Dalam probabilitas ada 3 kata kunci yang haris diketahui :

* Eksperimen

* Hasil (outcome)

* Kejadian atau peristiwa (event)

PENDEKATAN PERHITUNGAN PROBABILITAS

ada 2 pendekatan dalam menghitung probabilitas yaitu :

1. Pendekatan Klasik

Diartikan sebagai hasil bagi dari banyaknya peristiwa yang dimaksud
dengan seluruh peritiwa yang mungkin menurut pendekatan klasik

P(A) = x / n
x = Jumlah kemungkinan hasil
n = Jumlah total kemungkinan hasil.

Contoh .
2 buah dadu dilempar keatas bersamaan, tentukan probabilitas muncul
angka berjumlah 5
Jawab.

x = 4 {(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)}

n = 36 {(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,6)}

P(A) = x / n
=4/36
= 1/9 = 0,11

2. Pendekatan Subjektif

Diartikan sebagai tingkat kepercayaan individu yang didasarkan pada
peristiwa masa lalu yang berupa terkaan saja.

Contoh :
Seorang direktur akan memilih supervisor dari 4 orang claon yang
telah lulus ujian saringan. Ke-4 calon tersebut sama pintar,lincah dan
dapat dipercaya. Probabilitas tertinggi (kemungkinan diterima) menjadi
supervisor ditentukan secara subjektif oleh sang direktur.

Dari pernyataan tersebut dapat disusun suatu pengertian umum
mengenai probabilitas, yaitu Probabilitas adalah suatu indeks atau nilai
yang digunakan untuk menentukan tingkat terjadinya suatu kejadian yang
bersifat random (acak). Oleh karena itu maka probabilitas memiliki batas
- batas yaitu mulai dari 0 sampai dengan 1.

- Jika P = 0, disebut probabilitas kemustahilan, artinya kejadian atau
peristiwa tersebut tidak akan terjadi

- JIka P = 1, disebut probabilitas kepastian, artinya kejadian atau
peristiwa tersebut pasti terjadi.

Beberapa aturan dasar Probabilitas yaitu :

* Aturan Penjumlahan
ada 2 hal yang harus diperhatikan untuk menerapkan aturan
penjumlahan ini yaitu :

a. Kejadian saling meniadakan
Disebut saling meniadakan jika kedua atau lebih peristiwa itu tidak
dapat terjadi pada saat yang bersamaan.

P(A atau B)=P(A)+P(B)

Contoh : Sebuah dadu dilemparkan keatas, peristiwanya adalah
A = mata dadu 4
B = mata dadu < 3
Tentukan probabilitas
Jawab.
P(A)=1/6 (mata dadu 4)
P(B)=2/6 (mata dadu 1 dan 2)
P(A atau B) = P(A) + P(B)
= 1/6+2/6
= 3/6 = 0,5

b. Kejadian tidak saling meniadakan
Disebut tidak saling meniadakan jika kedua peristiwa atau lebih
dapat terjadi pada saat yang bersamaan.

P(A atau B)= P(A)+P(B)-P(A dan B)

Contoh :
2 buah dadu dilempar bersamaan
A = dadu (4,4)
B = dadu < (3,3)
Tentukan probabilitas P(A atau B)

Jawab
P(A) = 1/36 {(4,4)}
P(B) = 14/36 {(1,1),(1,2),(1,3),...,(3,2)}

P(A dan B) = 0
P(A atau B) = P(A) + P(B) - P(A dan B)
= 1/36+14/36-0
= 15/36 = 0,42

* Aturan Perkalian
Ada 2 jenis kejadian dalam aturan ini yaitu :

a. Kejadian tak bebas
Disebut tak bebas jika peristiwa satu dipengaruhi atau tergantung
pada peristiwa lainnya. Kejadian tak bebas ini dapat dibedakan
menjadi 2 macam yaitu :

1. Probabilitas bersyarat
Probabilitas terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa
lain harus terjadi dan peristiwa-peristiwa tersebut saling
mempengaruhi.

P(B|A)=P(AB)/P(A)

Contoh :
5 buah bola putih bertanda (+)
1 buah bola putih bertanda (-)
3 buah bola kuning bertanda (+)
2 buah bola kuning bertanda (-)
Seseorang mengambil sebuah bola kuning dari kotak.
Berapa probabilitas bola itu bertanda (+) ?
Jawab.
Misalkan A=bola kuning
B+ = bola bertanda positif
B- = bola bertanda negatif
P(A) = 5/11
P(B+|A)= 3/11

2. Probabilitas gabungan
Probabilitas terjadinya 2 atau lebih peristiwa secara berurutan
(bersamaan) dan peristiwa-peristiwa itu saling mempengaruhi.

P(A dan B)= P(A)xP(B/A)

Contoh :
Dari satu set kartu bridge berturut-turut diambil kartu sebanyak
2x secara acak. Hitunglah probabilitas kartu king (A) pada
pengambilan pertama dan As (B) pada pengambilan ke 2, Jika
kartu pada pengambilan pertama tidak dikembalikan !
Jawab.
P(A) = 4/52 (karena ada 4 buah king dalam kartu bridge)
P(B/A) = 4/51 ( karena ada 4 buah as dan kartu pertama tidak
dikembalikan maka 52-1)
P(A dan B) = P(A) x P(B/A)
= 4/52 x 4/51 = 0,006

b. Kejadian bebas
Disebut kejadian bebas jika kejadian tersebut tidak saling
mempengaruhi. P(A/B) = PA dan P(B/A) = P(B).

P(A dan B)=P(A)P(B)

Contoh : Satu mata uang logam Rp.50 dilemparkan keatas sebanyak 2x.
Jika A1 adalah lemparan pertama yang mendapat burung (B),
dan A2 adalah lemparan kedua mendapatkan gambar burung
(B). Berapakah P(A1 dan A2) ?
Jawab.
P(A1) = P(B) = 1/2 = 0,5
P(A2) = P(B) = 0,5
P(A1 dan A2) = P(B) x P(B) = 0,5 x 0,5 = 0,25

RUANG SAMPEL

Kumpulan semua kejadian (event) atau himpunan dari semua outcome yang
mungkin dari suatu eksperimen random dinyatakan dengan "S". Dan suatu
elemen / unsur / anggota pada Ruang sampel (S) dinamakan titik sampel
(sampel point). Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang
sampel "S".

Ruang Sampel dibedakan menjadi 2 yaitu :

1. Ruang sampel diskrit
Dikatakan diskrit apabila ruang sampel mengandung titik (unsur) yang
berhingga atau tak berhingga yang dapat disusun menurut barisan
sederhana, Contohnya percobaan pelemparan koin.

2. Ruang sampel kontinu
Dikatakan kontinu apabila ruang sampel mengandung titik (unsur) yang
tak berhingga yang dinyatakan dalam garis real atau dinyatakan dalam
interval dengan semesta bilangan real, contoh percobaan pengukuran
tinggi badan.

Contoh Ruang Sampel

* Percobaan pelemparan koin (2 buah koin yang dilempar sekali), maka
ruang sampelnya :

S = {GG,GA,AG,AA} G = gambar, A = Angka

* Percobaan pelemparan 2 buah dadu, maka ruang sampelnya :

S = {(x,y)|x = 1,2,...,6 ;y = 1,2,...,6}

Penentuan ruang sampel atau percobaan dapat dilakukan dengan 3 cara
yaitu dengan cara mendaftar, membuat tabel dan diagram pohon.

PENCACAHAN

Menyatakan banyaknya kemungkinan berbeda dari suatu percobaan. contoh :

* Aturan Penjumlahan (Sum Rule)
Jika ada suatu prosedur terdiri dari m-buah pekerjaan, T₁, T₂, … , T_m
yang masing - masing dapat dilakukan dengan n₁, n₂, … , n_m cara, dan
setiap pasang pekerjaan tersebut tidak dapat dilakukan secara bersamaan
maka akan ada n₁+ n₂+ … + n_mcara untuk melakukan pekerjaan
tersebut

Misal : Prodi TIF UB akan memberikan hadiah sebuah komputer kepada
seseorang mahasiswa atau seorang dosen secara ekslusif.
Ada berapa banyak pilihan berbeda jika ada 800 mahasiswa dan
110 orang dosen di TIF ?

Jawab : Ada 800 + 110 = 910 buah pilihan

* Aturan Perkalian (Product Rule)
Jika ada suatu prosedur yang terdiri atas pekerjaan-pekerjaan yang
dilakukan secara berurutan T₁,T₂, …,T_m yang masing-masing dapat
dilakukan n₁,n₂, …,n_mbuah cara, maka akan ada n₁x n₂x … x n_m buah
cara untuk pekerjaan tersebut.

Misalnya :
Nomor polisi yang tertulis diplat nomor kendaraan bermotor dibuat
dengan 3 buah abdjad.
Ada berapa buah kemungkinan kode yang dapat dibuat?
Jawab.

Ada 26 buah kemungkinan huruf ke-1
Ada 26 buah kemungkinan huruf ke-2
Ada 26 buah kemungkinan huruf ke-3

Maka terdapat 26x26x26=17576 buah nomor polisi berbeda yang bisa
dibuat dari 3 buah abjad.

PERMUTASI

Penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda
dari urutan semula dimana susunan tersebut dibentuk dari suatu kumpulan
benda yang diambil seluruhnya atau sebagian. Dalam hal ini Permutasi
memperhatikan urutan (AB!=BA).

Jenis-jenis Permutasi :

1. Permutasi dari n benda yang berlainan
Dirumuskan :

P = n!

Contoh.
Berapakah permutasi dari 4 kartu huruf A,B,C,dan D yang nantinya
digunakan untuk sebuah kode ?
Jawab.
P = 4!
= 4 x 3 x 2 x 1
= 24

2. Permutasi dari n benda berlainan yang diambil k sekaligus
Dirumuskan :

P = n! / ( n - k ) !

Contoh.
Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka yang berbeda yang
dapat disusun dari angka 3 , 5,dan 7?
Jawab.
n = 3 , k = 2
P = 3! / ( 3 - 2 ) !
= 3 x 2 x 1! / 1! = 6

3. Permutasi dengan elemen yang sama
Dirumuskan :
P = n! / k!

Contoh. Suatu untai aabc terdiri dari 4 macam unsur yaitu a,b,dan c
tetapi unsur a muncul sebanyak 2x. kedua a tersebut identil.
Permutasi dari aabc ?
Jawab.
Total permutasi dari untai aabc adalah sebanyak 4!=24. Tetapi total
permutasi ini juga mencangkup posisi a₀ dan a₁ yang bertukar-tukar,
yang jumlahnya ada 2! ( karena a terdiri dari 2 unsur : a₀ dan a₁ ).
Dengan demikian jika dianggap a₀ = a₁ maka banyak permutasinya
menjadi 4! / 2! = 12

4. Permutasi Siklis
Banyak permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar (n-1).
Dirumuskan :

P = ( n - 1 ) !

Contoh : Dalam sebuah rapat ada 8 orang duduk melingkar. Berapa
susunan duduk yang berlainan dalam rapat tersebut ?
Jawab.
P = ( n - 1 ) !
= ( 8 - 1 ) ! = 7!

5. Permutasi dengan penyekatan
Banyaknya permutas dari n benda jika n₁ diantaranya berjenis
pertama, n₂ berjenis kedua dan seterusnya hingga n_k berjenis ke k
adalah :

Contoh :
Ada 9 buah lampu disusun seri. Berapakah cara menyusun bola
lampu tersebut jika 3 diantaranya merah, 4 biru dan 2 hijau ?
Jawab.
P = 9! / 3! 4! 2!
= 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4! / 3 x 2 x 1 x 4! x 2!
= 1260

KOMBINASI

Penggabungan beberapa objek dari suatu kelompok tanpa
memperhatikan urutan.

Rumus kombinasi :

Contoh :
Dalam babak penyisihan suatu turnamen sepak bola, ada 4 tim yang
satu sama lain akan bertanding satu kali. Banyaknya pertandingan yang
terjadi adalah
Jawab.
n = 4
r = 2 (karena pertandingan sepak bola diambil 2 tim)

C = 4! / 2! ( 4 - 2 ) !
= 4 x 3 x 2! / 2! 2!
= 6

ATURAN BAYES
* Misalkan A1,A2, dan A3 adalah kejadian saling lepas dalam ruang
sampel S.
* B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S.

Probabilitas kejadian B adalah :

Probabilitas kejadian bersyarat

Secara umum bila A1, A2,...,An kejadian saling lepas dalam
ruang sampel S dan B adalah kejadian lain yang sembarang
dalam S, maka probabilitas kejadian bersyarat Ai / B adalah

DAFTAR PUSTAKA

blog.stikom.edu/sulist/files/2012/02/konsep-probabilitas-4.ppt

https://ridamramadhan.files.wordpress.com/2010/01/probabilitas-konsepsi-peluang-2009.ppt

https://adamhendrabrata.files.wordpress.com/2015/03/probstat-d-2-2-adam.pdf

https://fallawatekke.wordpress.com/2015/03/15/konsep-dasar-probabilitas/

http://adtyadjavanet.blogspot.com/2013/11/makalah-probabilitas.html

http://id.wikipedia.org/wiki/Peluang_(matematika).

https://badaiformula.wordpress.com/2010/12/03/sejarah-probabilitas/.

http://mentarihardyaningrum.blogspot.com/2012/06/teori-probabilitas-peluang-part-i.html.”

http://putrasipagimbar.blogspot.com/2012/07/pengertian-probabilitas.html.

http://tuty.student.unidar.ac.id/2013/06/manfaat-probabilitas-dalam-suatu_11.html.

https://www.academia.edu/10363023/KONSEP_DASAR_PROBABILITAS

Mundiri,Drs.Logika. PT Rajagrafindo Persada. Jakarta, 1994

Suharyadi, & Purwanto S.K (2007). Statistika : Untuk Ekonomi dan Keuangan Modern, Edisi 2. Jakarta: Penerbit Salemba Empat

STATISTIKA

Kamis, 13 Oktober 2016

BAB IV PROBABILITAS

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Arsip Blog